已知与曲线C：x 2 +y 2 -2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|O
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（1）由题意知A（a，0），B（0，b），∴直线l方程为
x
a +
y
b =1 ，即bx+ay-ab=0
曲线C表示一个圆，圆心C（1，1），半径r=1…（2分）∵直线与圆相切，∴
|a+b-ab|
a 2 + b 2 =1 ，…（4分）
两边平方整理得ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2…（5分）
（2）设线段AB中点为M（x，y），由中点坐标公式得 x=
a
2 ＞1，y=
b
2 ＞1 ，即…（7分）a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2得（2x-2）（2y-2）=2…（8分）
整理得AB中点M的轨迹方程为 (x-1)(y-1)=
1
2 (x＞1，y＞1) …（9分）
（3） S △AOB =
1
2 ab=
1
2 [-2+2(a+b)]=-1+a+b =（a-2）+（b-2）+3 ≥3+2
(a-2)•(b-2) =3+2
2 …（11分）（当且仅当a-2=b-2，又（a-2）（b-2）=2，即 a=b=2+
2 时取得等号）…（12分）
故△AOB面积的最小值为 3+2
2 …（13分）
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