x^2+y^2-2x-2y+1=0
=>
(x-1)^2+(y-1)^2=1
=>
该圆以(1,1)为圆心,1为半径
设圆心P
问题一：
做PQ垂直于AB于Q点,PM垂直于AO于M点,PN垂直于OB于N点
连接PB,PA,PO
欲证
(a-2)(b-2)=2
须证
ab-2a-2b+2=0
欲证
ab-2a-2b+2=0
须证
a*b/2-(1*a/2)*2-(1*b/2)*2+1*1=0
其中
a*b/2就是三角形ABO面积
1*a/2就是三角形OPA面积
1*b/2就是三角形OPB面积
1*1就是正方形NPMO面积
根据pma与pqa全等以及bpn与bpq全等可得
abo-2opa-2opb
=abo-(opa+qpa+opm)-(opb+bpq+npo)
=(abo-opa-qpa-opb-bpq)-(opm+opn)
=0-onpm
=-1
于是
abo-2opa-2opb+1=0
于是
a*b/2-(1*a/2)*2-(1*b/2)*2+1*1=0
于是
ab-2a-2b+2=0
于是
(a-2)(b-2)=2
证明完毕.
问题二：
设直线AB方程式为ax+by+c=0
AB与圆相切
=>
圆心到直线AB距离等于半径1
=>
PQ=|a*1+b*1+c|/根号(a^2+b^2)=1
=>
(a+b+c)^2=a^2+b^2
=>
c^2+2ab+2ac+2bc=0
=>
-a=(c^2+2bc)/(2b+2c)
令y=0求A横坐标
=>
x=-c/a
=(2b+2c)/(2b+c)
=1+c/(2b+c)
=1+c/b/(2+c/b)
令x=0求B纵坐标
=>
y=-c/b
=>
x=1+(-y)/(2-y)
=>
x=1+y/(y-2)
中点坐标为(x/2,y/2)
=>
((1+y/(y-2))/2,y/2)
=>
(1/2+z/(2z-2),z)
=>
轨迹方程为
x'=1/2+y'/(2y'-2)
定义域为y'>1
问题三：
Sabo=a*b/2
根据问题一的结论可得
Sabo=a+b-1
欲使面积小
应使a+b小
欲使a+b小
应使BN+NO+OM+MA小
也即应使BN+MA+1+1小
也即应使BQ+QA+2小
也即应使BA最小
显然,斜率为45时BA最小
此时
OQ=1+根2
=>
Smin=OQ^2=3+2根2
