（2014•萧山区模拟）已知f（x）=ax2-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
1个回答
解题思路：（Ⅰ）先求导得到f′（x），令f′（x）=0，解出a的值，并验证a的值是否满足极值的条件．
（Ⅱ）先求导得到f′（x），然后对a分类讨论，看f′（x）是大于0还是小于0，从而得到f（x）的单调区间．
（Ⅲ）把要求的问题：“存在x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）-g（x2）|＜9成立，”转化为“对于x∈（0，e]，|f（x）min-g（x）max|＜9”．进而求出a的取值范围．
（Ⅰ） f′(x)＝2ax−
2
x＝
2ax2−2
x，x∈（0，e]．
由已知f'（1）=2a-2=0，解得a=1，此时f′(x)＝
2x2−2
x＝
2(x+1)(x−1)
x．
在区间（0，1）上，f′（x）＜0；在区间（1，e）上，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
因此a=1时适合题意．
（Ⅱ） f′(x)＝2ax−
2
x＝
2ax2−2
x，x∈（0，e]．
1）当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，f′(x)＝
2a(x+
a
a)(x−
a
a)
x．
①若
a
a＜e，即a＞
1
e2，
则f（x）在(0，
a
a)上是减函数，在(
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题综合考查了函数的极值、单调区间及恒成立问题，掌握方法和正确计算及分类讨论是解决问题的关键．
相关问题
