（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE，
BM
CE =
2 ．理由如下：
如图1，设正方形ABCD的边长为2a，过点E作EG⊥AF于G，则EG是△CDF的中位线，
∴EG=
1
2 CD=a，DG=
1
2 DF=
1
2 CD=a，
∵N为MD的中点，
∴AN=ND=a，
∴AB=NG=2a，AN=EG=a，
在△NGE和△BAN中，
AB=NG
∠A=∠EGN=90°
AN=EG ，
∴△NGE≌△BAN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠BNE=180°-90°=90°，
∴BN⊥NE；
∵CD=DF，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CE=
1
2 CF=
1
2 ×
2 ×2a=
2 a，
∴
BM
CE =
2a
2 a =
2 ；
（2）在（1）中得到的两个结论均成立．理由如下：
如图2，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB ∥ CG，
∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN，
∵N为MD的中点，
∴MN=DN，
在△BMN和△GDN中，
∠MBN=∠DGN
∠BMN=∠GDN
MN=DN ，
∴△BMN≌△GDN（AAS），
∴MB=DG，BN=GN，
∵BN=NE，
∴BN=NE=GN，
∴∠BEG=90°，
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°，
∴∠BEC+∠BEH=∠CEH=90°，
∠GEH+∠BEH=∠BEG=90°，
∴∠BEC=∠GEH，
∵DF=DC，∠CDF=90°，
∴∠DCF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴CE=HE，
又∵∠BCE=90°+45°=135°，
∠GHE=180°-45°=135°，
∴∠BCE=∠GHE，
在△ECB和△EHG中，
∠BEC=∠GEH
CE=HE
∠BCE=∠GHE ，
∴△ECB≌△EHG（ASA），
∴BE=GE，GH=BC，
∵BN=NG，
∴BN⊥NE，
∵CH=CD-DH，
BM=DG=GH-DH=BC-DH，
∴CH=BM，
∴
BM
CE =
CH
CE =
2 ．
