如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
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解题思路:(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即CE=CF.

(2)借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF,∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°,即∠GCF=∠GCE,又因为CE=CF,CG=CG,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.

(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

再设DE=x,利用(1)、(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE.

(1)证明:在正方形ABCD中,

∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,

∴△CBE≌△CDF.

∴CE=CF.

(2)GE=BE+GD成立.

∵△CBE≌△CDF,

∴∠BCE=∠DCF.

∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD.

即∠ECF=∠BCD=90°.

又∠GCE=45°,

∴∠GCF=∠GCE=45°.

∵CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,

∴△ECG≌△FCG.

∴EG=GF.

∴GE=DF+GD=BE+GD.

(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,

在直角梯形ABCD中,

∵AD∥BC,∠A=∠B=90°,

又∠CGA=90°,AB=BC,

∴四边形ABCG为正方形.

∴AG=BC=12.

已知∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG,

设DE=x,则DG=x-4,

∴AD=AG-DG=16-x,AE=AB-BE=12-4=8.

在Rt△AED中

∵DE2=AD2+AE2,即x2=(16-x)2+82

解得:x=10.

∴DE=10.

点评:

本题考点: 等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的判定.

考点点评: 本题是一道几何综合题,内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力,是一道好题.本题的设计由浅入深,循序渐进,考虑到学生的个体差异.从阅卷的情况看,本题的得分在4-8分的学生居多.前两个小题学生做得较好,第三小题,因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题,数学学习能力不强,造成本小题得分率较低.