已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．
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解题思路：（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测an的值．
（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即ak=2-
1
2
k
，当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2-
1
2
k+1
，当n=k+1时，命题成立．故an=2-
1
2
n
都成立．
（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3
∴a1=[3/2]
当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5
∴a2=[7/4]，
同样令n=3，则可求出a3=[15/8]
∴a1=[3/2]，a2=[7/4]，a3=[15/8]
猜测an=2-
1
2n
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即ak=2-
1
2k，
当n=k+1时，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，
且a1+a2+…+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2ak+1=2+2-
1
2k，即ak+1=2-
1
2k+1，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N+，an=2-
1
2n都成立．
点评：
本题考点： 数列递推式；数学归纳法．
考点点评： 本题考查数列的递推式，解题时注意数学归纳法的证明过程．
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