在等腰三角形中,AB=AC,点D事斜边BC的中点,点E、F分别与AB、AC边上的点,且DE⊥DF.
2个回答
（1）
延长ED到P,使DP=DE,连接FP,CP,
在△BED和△CPD中,
ED＝PD
∠EDB＝∠PDC
BD＝CD
∴△BED≌△CPD（SAS）,
∴BE=CP,∠B=∠CDP,
在△EDF和△PDF中,
DE＝DP
∠EDF＝∠PDE＝90°
DF＝DF
∴△EDF≌△PDF（SAS）,
∴EF=FP,
∵∠B=∠DCP,∠A=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠DCP=90°,即∠FCP=90°,
在Rt△FCP中,根据勾股定理得：
CF²+CP²=PF²
∵BE=CP,PF=EF,
∴EF²=BE²+CF²
（2）连接AD,
∵△ABC为等腰直角三角形,D为BC的中点,
∴∠BAD=∠FCD=45°,AD=BD=CD,AD⊥BC,
∵ED⊥FD,
∴∠EDA+∠ADF=90°,∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△AED和△CFD中,
∠EAD＝∠FCD
AD＝DC
∠ADE＝∠CDF
∴△AED≌△CFD（ASA）,
∴AE=CF=5,DE=DF,即△EDF为等腰直角三角形,
∴AB=AE+EB=5+12=17,
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12,
在Rt△EAF中,根据勾股定理得：EF=13
设DE=DF=x,
根据勾股定理得：x²+x²=13²
解得：x=13√2/2
即DE=DF=13√2/2
则S△DEF=1/2*DE*DF=169/4
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