函数与方程的 运用难题.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c（1）若a＞b＞c,且f（1）=0,试说明f(x)必有两个
1个回答

⑴由于f(1)＝0

∴a＋b＋c＝0

∴b＝－(a＋c)

∴△＝b^2－4ac＝(a＋c)^2－4ac＝(a－c)^2

∵a＞c

∴△＞0

故f(x)与x轴必有两个交点

即f(x)有两个零点

⑵令g(x)＝f(x)－1/2[f(x1)＋f(x2)],则：

g(x1)＝f(x1)－1/2[f(x1)＋f(x2)]＝1/2[f(x1)－f(x2)]

g(x2)＝f(x2)－1/2[f(x1)＋f(x2)]＝－1/2[f(x1)－f(x2)]

∴g(x1)g(x2)＝－1/4[f(x1)－f(x2)]^2

∵f(x1)≠f(x2)

∴g(x1)g(x2)＜0

∴g(x)＝0必有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根

即方程f(x)＝1/2[f(x1)＋f(x2)有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根

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