设a，b∈R且a≠2，函数 f(x)=lg 1+ax 1+2x 在区间（-b，b）上是奇函数．
1个回答

（I）函数 f(x)=lg

1+ax

1+2x 在区间（-b，b）内是奇函数

∴对任意x∈（-b，b）都有f（-x）+f（x）=0，

∴ lg

1-ax

1-2x + lg

1+ax

1+2x = lg

1- a 2 x 2

1-4 x 2 =0

即

1- a 2 x 2

1-4 x 2 =1

即a 2x 2=4x 2，此式对任意x∈（-b，b）都成立

∴a 2=4

又∵a≠2，∴a=-2

代入

1+ax

1+2x ，得

1-2x

1+2x ＞0，即-

1

2 ＜x＜

1

2

此式对任意x∈（-b，b）都成立，相当于-

1

2 ＜-b＜b＜

1

2

所以b的取值范围是（0，

1

2 ]

∴ab的取值集合为[-1，0）

（II）设任意的x 1，x 2∈（-b，b），且x 1＜x 2，由b∈（0，

1

2 ]得

所以0＜1-2x 2＜1-2x 1，0＜1+2x 1＜1+2x 2

从而f（x 2）-f（x 1）= lg

1-2 x 2

1+2 x 2 - lg

1-2 x 1

1+2 x 1 = lg

(1-2 x 2 )(1+2 x 1 )

(1+2 x 2 )(1-2 x 1 ) ＜lg1=0

∴f（x 2）＜f（x 1）

因此f（x）在（-b，b）内是减函数

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