设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．
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解题思路：（1）由函数f（x）在区间（-b，b）是奇函数，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系数法求得a；同时函数要有意义，即
1+ax
1+2x
＞0
，x∈（-b，b）上恒成立，可解得结果．
（2）选用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．
解（1）f（x）=lg[1+ax/1+2x]（-b
对任意x∈（-b，b）都有
f(-x)=-f(x) ①
1+ax
1+2x>0 ②
①式即为lg
1-ax
1-2x=-lg
1+ax
1+2x=lg[1+2x/1+ax]，由此可得[1-ax/1-2x=
1+2x
1+ax]，
也即a2x2=4x2，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于a2=4，
因为a≠2，所以a=-2，
代入②式，得[1-2x/1+2x]>0，即-[1/2]
此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于
-[1/2]≤-b
所以b的取值范围是（0，[1/2]]．
（2）设任意的x1，x2∈（-b，b），且x1
由b∈（0，[1/2]]，得-[1/2]≤-b
从而f（x2）-f（x1）=lg
1-2x2
1+2x2-lg
1-2x1
1+2x1
=lg
(1-2x2)(1+2x1)
(1+2x2)(1-2x1)
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性，要注意定义域优先考虑原则，还考查了用定义法证明函数的单调性，要注意作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系．
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