（2012•房山区二模）数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．
1个回答
解题思路：（I）利用数列递推式，代入计算，可求a2，a3，a4；
（II）再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（III）求出前n项和，代入计算，可以证得结论．
（I）∵a1=1，Sn=2an-1，
∴当n=2时，a1+a2=2a2-1，∴a2=2
当n=3时，a1+a2+a3=2a3-1，∴a3=4
当n=4时，a1+a2+a3+a4=2a4-1，∴a4=8…（3分）
（II）∵Sn=2an-1，n∈N*．（1）
∴Sn-1=2an-1-1，n≥2，n∈N*．（2）
（1）-（2）得an=2an-1，
∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1…（8分）
（III）证明：∵Sn=2an-1=2n-1，
∴SnSn+2=（2n-1）•（2n+2-1）=22n+2-2n+2-2n+1，
S2n+1=22n+2-2n+2+1
∵2n＞0
∴SnSn+2＜
S2n+1．…（13分）
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
相关问题
