在直角坐标系中,有以A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)为顶点的正方形,设正方形在直线y=x上方及直线y=-x+2a上方部分的面积为S.
(1)求
a=
1
2
时,S的值.
(2)当a在实数范围内变化时,求S关于a的函数关系式.
解题思路:(1)由已知条件和题意,要求面积S的值,只要把三角形三个顶点坐标求出来问题就解决了;
(2)由题意知直线y=x是定的,而y=-x+2a是动的且平行于y=-x移动,此时面积S也是动的,从而要分类讨论,求出每种情况的面积表达式,根据几何关系及三角形顶点坐标易求S关于a的表达式.
(1)当a=
1
2时,如图1
直线y=x与y=-x+1的交点是E(
1
2,
1
2),
∴S=
1
2×1×
1
2=
1
4.(2分)
(2)①当a<-1时,如图2,△ADC的面积就是S.
∴S=
1
2×2×2=2. (3分)
②当-1≤a<0时,如图3,直线y=x与y=-x+2a的交点是E(a,a),
∴EG=(1-|a|)=1+a AF=2(1+a),
∴S=S△ADC-S△AEF=2-[1/2](1+a)×2(1+a)=2-(1+a)2.(6分)
③当0≤a<1时,如图4,
直线y=x与y=-x+2a的交点是E(a,a),
∴EG=1-a,CF=2(1-a),
∴S=S△CEF=[1/2](1-a)×2(1-a)=(1-a)2(9分)
④当a≥1时,如图5,S=0. (11分)
∴S关于a的函数关系式为S=
2(a<−1)
2−(1+a)2(−1≤a<0)
(1−a)2(0≤a<1)
0(a≥1).(12分)
点评:
本题考点: 一次函数综合题.
考点点评: 此题看似复杂其实很简单,主要考查一次函数的性质及三角形的面积公式,还考查了直线的平移和分类讨论的思想.
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