设椭圆M：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B
1个回答
（Ⅰ）根据题意可得：
2a＝6
2
c
a＝
2
2
b2＝a2−c2⇒
a＝3
2
c＝3
b＝3
所求椭圆M的方程为
x2
18+
y2
9＝1（4分）
（Ⅱ）当θ≠
π
2，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），
则直线AB的方程为y=k（x-3）
有
y＝kx−3k
x2
18+
y2
9＝1⇒（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0
设点A（x1，y1），B（x2，y2）
有x1+x2=
12k2
1+2k2，x1x2=
18(k2−1)
1+2k2
|AB|=
(1+k2)[(
12k2
1+2k2)2−4×
18(k2−1)
1+2k2]＝
6
2(1+k2)
1+2k2**（6分）
又因为k=tanθ=
sinθ
cosθ代入**式得
|AB|=
6
2
cos2θ+sin2θ＝
6
2
1−sin2θ+2sin2θ＝
6
2
1+sin2θ（8分）
当θ=
π
2时，直线AB的方程为x=3，
此时|AB|=3
2（10分）
而当θ=
π
2时，|AB|=
6
2
1+sin2θ=3
2
综上所述所以|AB|=
6
2
相关问题
