解题思路：（1）f1（x）∉M，不妨令f1（x）∈M，则存在x0，使[1
x
0
+1
＝
1
x
0
+1，解此方程，若方程有解，则说明假设成立f1（x）∈M，否则说明不成立；
（2）f2（x）∈M．不妨令g（x）=f2（x+1）-f2（x）-f2（1），代入解析式进行判断，若此函数有零点，则说明函数f2=2x+x2属于集合M，否则说明它不属于集合M；
（3）函数
f
3
(x)＝lg
a
x
2
+1
∈M
，则存在x0，使得
lg
a
(
x
0
+1)
2
+1
=
lg
a
x
0
2
+1
+lg
a/2]，由于本题要求出一个满足要求的实数a的值，可从此方程中将a表示为x0的函数，得到a=
2(
x
0
2
+1)
x
0
2
+2
x
0
+2
，利用导数解出此函数的最值，即可得出函数的值域，即a可以存在的范围，从中任意找出一个值即可．
（1）由题意，f1（x）∉M．
假若f1（x）∈M，则存在x0，使[1
x0+1＝
1
x0+1，
得x02+x0+1=0．此方程无解，
故f1（x）∉M．
（2）由题意f2（x）∈M．
令g（x）=f2（x+1）-f2（x）-f2（1）=2x+1+（x+1）2-2x-x2-2-1=2（2x-1+x-1），
由于g（0）=-1，g（1）=2，
故函数f2（x）在（0，1）上至少有一个零点，
设为x0，它满足f2（x0+1）=f2（x0）+f2（1），
所以f2（x）∈M．
（3）由于f3(x)＝lg
a
x2+1∈M，
得存在x0，使得lg
a
(x0+1)2+1=lg
a
x02+1+lg
a/2]，即
a
(x0+1)2+1=
a
x02+1×
a
2，
所以a=
2(x0 2+1)
x0 2+2x0+2，
令g（x）=
2(x2+1)
x2+2x +2，
g′（x）=
4(x2+1)
(x2+2x+2)2=0，得x=
−1±
5
2，
结合如图的图象，函数g（x）在（-∞，
−1−
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．
考点点评： 本考查函数与方程的综合运用，考查了分式方程的解法，函数零点的判定定理，解对数方程，利用导数求最值，解题的关键是理解题设中所给的定义，理解其运算规则，由此得到方程，再由函数的相关知识综合作出判断本题综合性强，尤其是第三小题的求解，需要构造函数研究参数的取值范围，用到了函数的思想，这是本题的难点，做题时根据问题选择合适的工具可以大大降低解题的难度
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