如图，抛物线y=ax 2 +bx+2经过点A（-1，0），B（5，0），与y轴交于点C．
1个回答
（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+2（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），三点代入解析式得：
a-b+c=0
25a+5b+c=0
c=2 ，
解得
a=-
2
5
b=
8
5
c=2 ；
∴ y=-
2
5 x 2 +
8
5 x+2 ；
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴ a=-
2
5 ；
∴ y=-
2
5 (x+1)(x-5) ，
即 y=-
2
5 x 2 +
8
5 x+2 ；
（2）①过点F作FD⊥x轴于D，如图1，
当点P在原点左侧时（-1≤t＜0），BP=5-t，DF=-t；
∴S △PBF=
1
2 BP×DF =
1
2 t 2 -
5
2 t（-1≤t≤0），
当t=-1时，S △PBF有最大值2；此时P点坐标为（-1，0）；
②当点P在原点右侧时（0＜t≤5），如图2，DF=t，BP=5-t；
∴S △PBF=
1
2 BP×DF =-
1
2 t 2+
5
2 t（0＜t≤5）；
当t=
5
2 时，S △PBF有最大值
25
8 ；此时坐标为（
5
2 ，0）；
综上S与t的函数关系式为S=
1
2 t 2 -
5
2 t(-1≤t≤0)
-
1
2 t 2 +
5
2 t(0＜t≤5) ，
当t=
5
2 时，S △PBF有最大值
25
8 ；此时坐标为（
5
2 ，0）；
（3）能；
设P点坐标为（t，0），
当-1≤t≤0时，这样的等腰三角形不存在，
当0＜t≤5时，如图3，F点坐标为（2+t，t），
PF=
4 +t 2 ，FB=
(3-t ) 2 + t 2 ，
若△PBF是等腰三角形，则PF=FB，
解得t=1或t=5（不符合题意舍去），
故当t=1时△PBF是等腰三角形．
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