正数数列{an}中,a1=b,a(n+1)=1/a*(an)²,求通项公式an.
4个回答

首先明确,a(n+1)=1/a*(an)²中的n和n+1都是表示坐标.

最好写成a = (1/a) *a² 这样就清楚了.

其中,a 和 a 是表示数列{an}中任意相邻的两项.

由a = (1/a) *a²得

a = b

a = (1/a)*b² = a*(b/a)²

a = (1/a)*【a*(b/a)²】² = a*(b/a)^4

a = (1/a)*【a*(b/a)^4】² = a*(b/a)^8

由此猜想,n=k时(k∈N),a = a*(b/a)^[2^(k -1)] ←即,a乘以 (b/a)的[2^(k -1)] 次方

当n=k+1时,

a = (1/a) *【a*(b/a)^[2^(k -1)]】²

= (1/a)*a² *【(b/a)^[2^(k -1)]】²

= a * (b/a)^[2^(k+1 -1)]

∴当n=k+1时,原猜想也成立

所以有,对于任意n∈N,a = a*(b/a)^[2^(n -1)]恒成立.

即数列{an}的通项公式为 a = a*(b/a)^[2^(n -1)]