在抛物线y²=4x上任取两点与焦点连线,使其在焦点处垂直,求三点围成三角形的面积最小值
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假设两点坐标分别是(y1^2/4,y1)(y2^2/4,y2)
焦点为(1,0)
三角形面积
S=1/2*(y1^2/4 +1)(y2^2/4 +1)
=1/32 * (y1^2+4)(y2^2+4)
=1/32 *( (y1y2)^2 +4(y1^2+y2^2) +16)
两条直线垂直,那么
(y1^2/4 -1)(y2^2/4 -1) +y1y2=0
化简得到 4(y1^2+y2^2)= (y1y2)^2+16y1y2+16
S=1/32 *( (y1y2)^2 + (y1y2)^2+16y1y2+16+16)
=1/16 *( (y1y2)^2+8y1y2 +16)
令y1y2=a
S=1/16*( a^2+8a+16)
=1/16 *( (a+4)^2)
4(y1^2+y2^2)= (y1y2)^2+16y1y2+16
4(y1^2+2y1y2+y2^2)=(y1y2)^2+24y1y2+16
4(y1+y2)^2+128= (y1y2+12)^2
(y1y2+12)^2
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