圆内接四边形ABCD,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,p=(a+b+c+d)/2,
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对于任意凸四边形ABCD,它的面积公式为:[2t表示两对角之和]
S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd(cost)^2].(1)
当t=180°即为:
S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].(2)
因此对于给定的四边长的四边形以圆内接四边形的面积最大.
(1),(2)均可用余弦定理证明.下面给出一种新证法.
证明 当圆内接四边形ABCD为矩形时,(2)式显然成立.
当圆内接四边形ABCD不是矩形时,总有一组对边延长后交于一点,不妨设CB与DA延长后交于E,设CE=x,DE=y,则由海仑公式得:
S(ECD)=√[(x+y+c)*(x+y-c)*(x-y+c)*-x+y+c)]/4.
因为 ΔDAB∽ΔECD,所以 S(EAB)/S(ECD)=a^2/c^2,即
[S(ECD)-S(EAB)]/S(ECD)=(c^2-a^2)/c^2,
S/S(ECD)=(c^2-a^2)/c^2.
因为 x/c=(y-d)/a; y/c=(x-b)/c.
由此可得:
x+y=c(b+d)/(c-a),
x-y=c(b-d)/(c+a).
故有
x+y+c=c(b+c+d-a)/(c-a),
x+y-c=c(b+d+a-c)/(c-a),
x-y+c=c(a+b+c-d)/(c+a),
-x+y+c=c(c+d+a-b)/(c+a).
因而得:
S(ECD)=[c^2/(c^2-a^2)]*√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]].
故得:S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].证毕.
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