已知函数fxx^2-ax +b的图像经过坐标原点,且y=fx+1/4有唯一零点,若数列an的前n项和
1个回答
(1)
f(x)=x^2-ax +b的图像经过坐标原点
那么f(0)=b=0
∴f(x)=x^2-ax
∵y=fx+1/4有唯一零点
即x²-ax+1/4=0有两个相等的实数根
∴Δ=a²-1=0
∴a=1或a=-1
∴f(x)=x²±x
∴Sn=n²±n
若Sn=n²+n
则a1=S1=2
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2n
n=1时,上式也成立
∴an=2n
若Sn=n²-n
同理可得：an=2(n-1)
(2)
bn满足an+log₃（n）=log₃（bn）
∴log₃(bn)=log₃(n*3^(an))
∴bn=n*3^(2n)=n*9^n
或bn=n*3^(2n-2)=n*9^(n-1)
若bn=n*9^n
数列bn的前n项和
Tn=9+2*9^2+3*9^3+.+n*9^n ①
①×9:
9Tn=9^2+2*9^3+.+(n-1)*9^n+n*9^(n+1) ②
①-②:
-8Tn=9+9^2+9^3+.+9^n-n*9^(n+1)
=9(9^n-1)/8-n*9^(n+1)
=((1/8-n)*9^(n+1)-9/8
∴Tn=(8n-1)/64*9^(n+1)+9/64
bn=n*9^(n-1)
数列bn的前n项和
Tn=1+2*9+3*9^2+.+n*9^(n-1) ①
①×9:
9Tn=9+2*9^2+.+(n-1)*9^(n-1)+n*9^n ②
①-②:
-8Tn=1+9+9^2+.+9^(n-1)-n*9^n
=(9^n-1)/8-n*9^n
=(1/8-n)*9^n-1/8
∴Tn=(8n-1)/64*9^n+1/64
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