已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=ax+2lnx(a∈R).
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解题思路:(Ⅰ)设设x<0,则-x>0,代入已知可求f(-x),结合奇函数f(x)=-f(-x),可求

(II)由(I)中函数的解析式,我们可以求出函数的导函数的解析式,分类讨论后可得当[2/a>−e时,

f

(x)

min

=f(

2

a

)

;当

2

a]≤-e时f(x)min=f(-e),列出方程求出参数a的值.

(Ⅲ)由题意要证函数F(x)在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖等价于需证x3>ax+2lnx对x∈(1,+∞)恒成立,利用导数求出函数的单调性,求出a的范围.

(Ⅰ)当x∈(-∞,0)时,则-x>0,

由已知f(-x)=-ax+2ln(-x)=-f(x)∴f(x)=ax-2ln(-x),

∴f(x)=

ax+2lnx,(x>0)

ax−2ln(−x),(x<0)

(Ⅱ)假设存在a<0满足题意,

∵f(x)=ax-2ln(-x),x∈[-e,0),

∴f′(x)=a−

2

x=

a(x−

2

a)

x,x∈[-e,0),

令f′(x)=0,x=

2

a

当[2/a>−e即a<−

2

e]时,f(x)在(−e,

2

a)上单调递减,(

2

a,0)上单调递增,

∴f(x)min=f(

2

a)=4,解得a=-2e,

当[2/a]≤-e即−

2

e≤a<0时,f(x)在[-e,0]上单调递增,

∴f(x)min=f(-e)=4,解得a=−

6

e<−

2

e,矛盾,

总之,存在a满足题意.

(Ⅲ)由题意,x3>ax+2lnx对x∈(1,+∞)恒成立,

即a<x2−

2lnx

x对x∈(1,+∞)恒成立,

设h(x)=x2−

2lnx

x,x∈(1,+∞),则h′(x)=2x−

2−2lnx

x2=

2x3+2lnx−2

x2,

设Φ(x)=2x3+2lnx-2,x∈(1,+∞),

则Φ′(x)=6x2+

2

x>0即Φ(x)在x∈(1,+∞)上单调递增

∴Φ(x)>Φ(1)=0

则h′(x)>0即h(x)=x2−

2lnx

x在x∈(1,+∞)上单调递增,

∴h(x)>h(1)=1若a<h(x)对x∈(1,+∞)恒成立,则a≤1即可

所以实数a的取值范围为(-∞,1]

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

考点点评: 第一问利用函数的奇偶性进行求解,比较常见,第三问是一道证明题,定义了一个新定义覆盖的概念,将这个问题转化为函数的恒成立的问题,就会比较简单;

1年前

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