若a是f(x)的不动点,即有f(a)=a,则f(f(a))=f(a)=a,即a也为f(f(x))的不动点.
由f(f(x))不动点唯一,f(x)至多有一个不动点.
下面证明f(x)有不动点.
设b为f(f(x))的不动点,即有f(f(b))=b.又设c=f(b).
则f(c)=f(f(b))=b,于是f(f(c))=f(b)=c,即c也为f(f(x))的不动点.
但f(f(x))不动点唯一,有b=c=f(b),于是f(x)存在不动点b.
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