解题思路：（Ⅰ） 首先求出函数f（x）的导数f'（x），对a讨论，分a≥0，a＜0①-1＜a＜0，②a=-1，③a＜-1，分别求出单调区间，再求并集；（Ⅱ）化简a=0时的g（x），由两点的斜率公式写出k，运用分析法证（x1+x2）k＞2，注意运用对数的运算法则和同时除以x1的变形，再令x2x1＝x，构造函数h（x）=lnx-2(x−1)x+1（x＞1），求出导数，求出单调区间，运用单调性说明h（x）＞0成立即可．
（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=[2ax+（a-1）2]•ex+[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]•ex
=[ax2+（a2+1）x+a]•ex，
当a≥0时，∵x∈（2，3），∴f'（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上单调递增，
当a＜0时，∵f（x）在（2，3）上单调递增，∴f'（x）=a（x+a）（x+[1/a]）•ex≥0，
①当-1＜a＜0时，解得-a≤x≤-[1/a]，由题意知（2，3）⊆[-a，-[1/a]]，得−
1
3≤a＜0，
②当a=-1时，f'（x）=-（x-1）2•ex≤0，不合题意，舍去，
③当a＜-1时，解得−
1
a≤x≤-a，则由题意知（2，3）⊆[-−
1
a，-a]，得a≤-3，
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[-[1/3]，+∞）；
（Ⅱ）a=0时，g（x）=
f(x)
ex+lnx-x=lnx-1，k=
lnx2−lnx1
x2−x1，
∵x2-x1＞0，要证（x2+x1）k＞2，即证（x1+x2）
lnx2−lnx1
x2−x1＞2，
即证ln
x2
x1-
2(
x2
x1−1)
x2
x1+1＞0（
x2
x1＞1），
设h（x）=lnx-
2(x−1)
x+1（x＞1），h'（x）=[1/x]-
4
(x+1)2=
(x−1)2
x(x+1)2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，
∴ln
x2
x1-
2(
x2
x1−1)
x2
x1+1＞0（
x2
x1＞1）成立，
即（x1+x2）k＞2成立．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求单调区间，运用单调性解决不等式问题，同时考查分类讨论的思想方法以及构造函数运用单调性灵活解决问题的能力．
