设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）

（1）求证：f（1）=f（-1）=0；

（2）求证：y=f（x）是偶函数；

（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式

f(x)+f(x-

1

2

)≤0

．

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（1）令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1）

∴f（1）=0

令x1=x2=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0

（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，

令x1=x，x2=-1

∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）

∴f（x）=f（-x）

所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．

（3）不等式f(x)+f(x-

1

2)≤0．

即f[x(x-

1

2)]≤f(1)

∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数

且f（x）为（0，+∞）上的增函数，

∴|x(x-

1

2)|≤1，

解得：

1-

17

4≤x＜0或

1

2＜x≤

1+

17

4．

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