已知抛物线y=x2+2x+b(x∈R)与坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为M.
(1)求实数b的取值范围;
(2)设抛物线与x轴的交点从左到右分别为A、B,与y轴的交点为C,求A、B、C三点的坐标;
(3)设直线l是抛物线在点A处的切线,试判断直线l是否也是圆M的切线?并说明理由.
解题思路:(1)先对实数b分等0和不等0两种情况讨论,再把与坐标轴有三个交点,转化为与x轴有两个不同的交点问题,利用判别式大于0即可求出实数b的取值范围;
(2)先让x=0求出点C的坐标,再令y=0求出对应方程的根即可求出点A、B的坐标;
(3)先求出圆M的方程以及直线l是的斜率,利用相切对应的斜率相乘为-1,解出实数b再与第一问相结合即可得出结论.
(1)∵抛物线与坐标轴有三个交点
∴b≠0,否则抛物线与坐标轴只有两个交点,与题设不符,
由b≠0知,抛物线与y轴有一个非原点的交点(0,b),
故抛物线与x轴有两个不同的交点,即方程x2+2x+b=0有两个不同的实根
∴△=4-4b>0即b<1
∴b的取值范围是b<0或0<b<(13分)
(2)令x=0得y=b,
∴C(0,b)(4分)
令y=0得x2+2x+b=0解得x=
−2±
4−4b
2=−1±
1−b
∴A(−1−
1−b,0),B(−1+
1−b,0)(6分)
(3)∵y=x2+2x+b
∴y'=2x+2
∴直线l的斜率kl=2(−1−
1−b+1)=−2
1−b(7分)
设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
∵圆M过A(−1−
1−b,0),B(−1+
点评:
本题考点: 圆与圆锥曲线的综合.
考点点评: 当一个抛物线开口向上或向下时,与坐标轴的交点问题就转化为对应函数与坐标轴的交点问题.而一个函数与y轴最多有一个交点,就把问题简单化了.
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