已知抛物线y=x2+2x+b(x∈R)与坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为M.
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解题思路:(1)先对实数b分等0和不等0两种情况讨论,再把与坐标轴有三个交点,转化为与x轴有两个不同的交点问题,利用判别式大于0即可求出实数b的取值范围;

(2)先让x=0求出点C的坐标,再令y=0求出对应方程的根即可求出点A、B的坐标;

(3)先求出圆M的方程以及直线l是的斜率,利用相切对应的斜率相乘为-1,解出实数b再与第一问相结合即可得出结论.

(1)∵抛物线与坐标轴有三个交点

∴b≠0,否则抛物线与坐标轴只有两个交点,与题设不符,

由b≠0知,抛物线与y轴有一个非原点的交点(0,b),

故抛物线与x轴有两个不同的交点,即方程x2+2x+b=0有两个不同的实根

∴△=4-4b>0即b<1

∴b的取值范围是b<0或0<b<(13分)

(2)令x=0得y=b,

∴C(0,b)(4分)

令y=0得x2+2x+b=0解得x=

−2±

4−4b

2=−1±

1−b

∴A(−1−

1−b,0),B(−1+

1−b,0)(6分)

(3)∵y=x2+2x+b

∴y'=2x+2

∴直线l的斜率kl=2(−1−

1−b+1)=−2

1−b(7分)

设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

∵圆M过A(−1−

1−b,0),B(−1+

点评:

本题考点: 圆与圆锥曲线的综合.

考点点评: 当一个抛物线开口向上或向下时,与坐标轴的交点问题就转化为对应函数与坐标轴的交点问题.而一个函数与y轴最多有一个交点,就把问题简单化了.

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