在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
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解题思路：（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0-y0+b（1-y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1-y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0-y0=0中即可求出定点的坐标．
．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=-b-1．
所以圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x02+y02+2x0-y0+b（1-y0）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1-y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0-y0=0，解得
x0＝0
y0＝1或
x0＝−2
y0＝1
经检验知，（-2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（-2，1）和（0，1）．
点评：
本题考点： 二次函数的图象；圆的标准方程．
考点点评： 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．
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