求极限limx→0∫x0[∫u20arctan(1+t)dt]dux(1−cosx)．
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解题思路：根据双重积分可交换性以及洛必达法则，即可求解．
lim
x→0
∫x0[
∫ u20arctan(1+t)dt]du
x(1−cosx)
=
lim
x→0
∫u2 0[
∫ x0arctan(1+t)dt]du
x(1−cosx)
=
lim
x→0
∫x20arctan(1+t)dt
1−cosx+xsinx（洛必达法则）
=
lim
x→0
2xarctan(1+x2)
sinx+sinx+xcosx（洛必达法则）
=2
lim
x→0arctan（1+x2）•
lim
x→0[x/2sinx+xcosx]
=2•[π/4]•
lim
x→0[1
2
sinx/x+cosx]
因为：
lim
x→0[sinx/x]=1，
lim
x→0cosx=1；
lim
x→0
∫x0[
∫ u20arctan(1+t)dt]du
x(1−cosx)=2•[π/4]•
lim
点评：
本题考点： 积分上限函数及其求导；等价无穷小代换定理及其应用；洛必达法则；二重积分的计算．
考点点评： 本题主要考查了变上限积分函数以及洛必达法则，属于基础题．
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