已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4
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【解答的挺详细的,希望能对你有所帮助】

1.若以为圆心,椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2

相切,求椭圆的焦点坐标

∵椭圆C的长轴长为4

∴2a=4 a=2 a^2=4

∵原点到直线y=x+2的距离为d=2/（根号2）

∴b=根号2 b^2=2 c^2=a^2-b^2=2

∴焦点F1（﹣√2,0）、F2（√2,0）

2.若点p是椭圆C上的一点,过原点的直线l与椭圆相交于M.N两点,记直线PM,PN的斜率分别为Kpm*Kpn=-1/4时,求椭圆的方程

设P(x0,y0),过原点的直线L:y=kx,M(x1,kx1) N(-x1,-kx1)

则KPM=(y0-kx1)/(x0-x1)

KPN=(y0+kx1)/(x0+x1)

∵KPM*KPN=-1/4

∴(y0^2-k^2x1^2)/(x0^2-x1^2)=-1/4

即4y0^2-4k^2x1^2+x0^2-x1^2=0 ——记为（*）式

又 由题知椭圆C：x^2/4+y^2/b^2=1

∴y0^2=b^2-（b^2x0^2）/4

再将y0^2=b^2-（b^2x0^2）/4代人（*）式可得

4b^2-b^2x0^2-4k^2x1^2+x0^2-x1^2=0

合并后得(1-b^2)x0^2-(4k^2+1)x1^2+b^2=1

∵点P是椭圆C上的任意一点,即这个等式与点P的位置无关

所以任意x0,等式(1-b^2)x0^2-(4k^2+1)x1^2+b^2=1恒成立

即1-b^2=0

∴b^2=1

∴椭圆方程x^2/4+y^2=1

【看懂了吗?】

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