已知函数 g(x)=px- p x -2lnx
1个回答
（1）求导函数，可得 g′(x)=
p x 2 -2x+p
x 2 （x＞0）
∵g（x）在其定义域内的单调函数，
∴
p＞0
△=4-4 p 2 ≤0 或
p＜0
△=4-4 p 2 ≤0 或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）证明：设k（x）=lnx-x+1，则 k′(x)=
1
x -1=
1-x
x （x＞0）
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，k（x）取极大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）证明：由（2）知， lnx≤x-1，又x＞0，有
lnx
x ≤
x-1
x =1-
1
x ，
令 x= n 2 得
ln( n 2 )
n 2 =
2lnn
n 2 ＜1-
1
n 2 ，即
lnn
n 2 ＜
1
2 (1-
1
n 2 ) ，
∴
ln2
2 2 +
ln3
3 2 +…+
lnn
n 2 ＜
1
2 [(1-
1
2 2 )+(1-
1
3 2 )+…+(1-
1
n 2 )]
=
1
2 [(n-1)-(
1
2 2 +
1
3 2 +…
1
n 2 )] --------（12分）
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