设数列a[n]满足a[1]＝2,a[n+1]=λa[n]+2^n,n属于全体实数,λ为常数,
2个回答
（2）a[n+1]=λa[n]+2^n
a[n]=λa[n]+2^(n-1)
相减,假设为等差,则d=λd+2^(n-1)
若使上式成立,显然λ≠1,于是d=2^(n-1)/(1-λ),不是恒为常数
a[n]不是等差数列
（3）λ≠1时
a[n]=a[n-1]+2^(n-1)
a[n-1]=a[n-2]+2^(n-2)
...
a[2]=a[1]+2^1
两边相加有
a[n]=a[1]+2^1+...+2^(n-1)=2+2^n-2=2^n
b[n]=(4n-7)/a[n]=4n*(1/2)^n-7*(1/2)^n
前面一个设为c[n]=4n*(1/2)^n,后面一个设为d[n]=-7*(1/2)^n
c[n]为标准的等差比数列,
设 W[n]=c[1]+...+c[n]=4*1*(1/2)+4*2*(1/2)^2+...+4n *(1/2)^n
则 (1/2)*W[n]= 4*1*(1/2)^2+...+4(n-1)*(1/2)^n+4n*(1/2)^(n+1)
W[n]-(1/2)*W[n]=2+4*((1/2)^2+...+(1/2)^n)-4n*(1/2)^(n+1)
∴W[n]=8-(8+4n)*(1/2)^n
d[n]为标准的等比数列,其和T[n]=-7+7*(1/2)^n
于是:S[n]=W[n]+T[n]=1-(1+4n)*(1/2)^n
S[n]>0,1-(1+4n)*(1/2)^n>0
即2^n-4n-1>0
设数列U[n]=2^n-4n-1
则U[n-1]=2^(n-1)-4(n-1)-1
U[n]-U[n-1]=2^(n-1)-4
当n>=4时,U[n]递增,易知n>=5时2^n-4n-1>0
所以最小的n为5
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