（2013•济南二模）已知函数f(x)＝13ax3+(a−2)x+c的图象如图所示．
1个回答
解题思路：（1）由题意可得f（0）=3，f′（1）=0，解之可得a，c，可得解析式；
（2）可得函数g（x）的解析式，问题转化为
k≥
2x
x
2
+1
在区间（0，+∞）上恒成立，只需构造函数
h(x)＝
2x
x
2
+1
，x∈（0，+∞），由基本不等式求最值即可．
（1）求导数可得f′（x）=ax2+a-2，…（2分）
由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0．
得
c＝3
2a−2＝0，解得
c＝3
a＝1．…（4分）
∴f(x)＝
1
3x3−x+3．…（5分）
（2）∵g(x)＝
kf′(x)
x−2lnx＝kx−
k
x−2lnx，…（6分）
∴g′(x)＝k+
k
x2−
2
x＝
kx2+k−2x
x2．…（8分）
∵函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），…（9分）
∴若函数y=g（x）在其定义域内为单调增函数，
则函数g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即kx2+k-2x≥0在区间（0，+∞）上恒成立．…（10分）
即k≥
2x
x2+1在区间（0，+∞）上恒成立．
令h(x)＝
2x
x2+1，x∈（0，+∞），
则h(x)＝
2x
x2+1＝
2
x+
1
x≤1（当且仅当x=1时取等号）．…（12分）
∴k≥1．…（13分）
点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；函数的图象．
考点点评： 本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及恒成立问题，属基础题．
相关问题
