函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[m,n]⊆D,使得函数f(x)满足:①f(x)在[m,n]上是单调函数;②f(x
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函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②

f(a)=2a

f(b)=2b ,或

f(a)=2b

f(b)=2a .

①f(x)=x 2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b],

f(a)=2a

f(b)=2b ,∴

a 2 =2a

b 2 =2b ,∴

a=0

b=2 ,

∴f(x)=x 2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2];

②f(x)=e x(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b],

f(a)=2a

f(b)=2b ,∴

e a =2a

e b =2b ,

构建函数g(x)=e x-x,∴g′(x)=e x-1,

∴函数在(-∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增,

∴函数在x=0处取得极小值,且为最小值.

∵g(0)=1,∴,g(x)>0,∴e x-x=0无解,故函数不存在“倍值区间”;

③f(x)=

4x

x 2 +1 (x≥0),f′(x)=

4( x 2 +1)-4x×2x

( x 2 +1 ) 2 =

4(1+x)(1-x)

( x 2 +1 ) 2 ,

若存在“倍值区间”[a,b]⊆[0,1],

f(a)=2a

f(b)=2b ,∴

4a

a 2 +1 =2a

4b

b 2 +1 =2b ,∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1];

④f(x)=loga(ax-

1

8 )(a>0,a≠1).不妨设a>1,则函数在定义域内为单调增函数

若存在“倍值区间”[m,n],

f(a)=2a

f(b)=2b ,

f(m)=2m

f(n)=2n ,

log a ( a m -

1

8 )=2m

log a ( a n -

1

8 )=2n ,

∴2m,2n是方程loga(ax-

1

8 )=2x的两个根,

∴2m,2n是方程a2x-ax+

1

8 =0的两个根,

由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”[m,n];

综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④.

故答案为:①③④.