如图,AB为圆O的直径,D为半圆的中点,过A作AH⊥弦DC于H（1）求证：OH平分∠AHC（2）连AC与BC,若AC=6
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第一个问题：
令AB、CD相交于E.
∵D是弧ADB的中点,∴AD＝BD,又AO＝BO,∴DO⊥EO,又AH⊥HE,
∴∠OAH＝∠ODH［同是∠AED的余角］,∴A、O、H、D共圆,∴∠AHO＝∠ADO.
∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BD,又AD＝BD、AO＝BO,∴∠ADO＝45°,∴∠AHO＝45°,
∴∠CHO＝∠AHE－∠AHO＝90°－45°＝45°.
∴∠AHO＝∠CHO＝45°,∴OH平分∠AHC.
第二个问题：
由勾股定理,有：AB＝√（AC^2＋BC^2）＝√（36＋16）＝√52＝2√13.
∵A、C、B、D共圆,又AD＝BD,∴∠ACE＝∠BCE,
∴由三角形内角平分线定理,有：AE/BE＝AC/BD,∴AE/（AB－AE）＝AC/BC,
∴AE/（2√13－AE）＝6/4＝3/2,∴AE/（2√13）＝3/（2＋3）＝3/5,∴AE＝（6/5）√13,
∴AO＋OE＝（6/5）√13,∴（1/2）AB＋OE＝（6/5）√13,
∴OE＝（6/5）√13－（1/2）×2√13＝（1/5）√13.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,又∠ACH＝∠BCH,∴∠ACH＝45°,而AH⊥CH,
∴AH＝（1/√2）AC＝6/√2.
过O作OF⊥EH交EH于F.
∵OF⊥EH、AH⊥EH,∴OF∥AH,∴△EOF∽△EAH,∴OF/AH＝OE/AE,
∴OF＝AH×OE/AE＝（6/√2）×（1/5）√13/［（6/5）√13］＝1/√2.
∵OF⊥FH,∠OHF＝45°,∴OH＝√2OF＝1.
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