某重点中学的一道数学竞赛题请给出一条"空间中不共面4点在同一正四面体的面上"这一命题的充要条件并证明.从题目看来包括:a
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那个啥充要条件就 在正四面体中最长线段是棱长

设四个点为A、B、C、D,设A、B、C三点中,A到B的距离为最大的

以A、B的长为正四面体的一边,再以C确定一个三角形Q(该三角形为A、B、C能确定的最小的三角形),再在三角形Q以D在三角形的方向作一个正四面体P

①当D在正四面体P外时,只要把正四面体以ABC所在的面为中心放大,就可以使D在正四面体上,则四个点都在正四面体上

②当D在正四面体P内时

以B、C、D三点确定一个最小的三角形,然后可以以它为底,向A的方向作一个正四面体,因为正四面体最长的边是棱长,所以无论C在三角形Q何处,D在正四面体P中何处,点A都在正四面体外

所以只要以B、C、D确定的最小的三角形的中心放大该正四面体,最终能使A在正四面体上

其实三点可以确定一个平面,所以使三点在同一个面上,第四点在另一个面上就行了

逆证明:

设A、B、C三点中,A到B的距离为最大的

以A、B的长为正四面体的一边,再以C确定一个三角形Q

再在三角形Q以D在三角形的方向作一个正四面体P,使D在正四面体P内

以B、C、D三点确定一个最小的三角形,然后可以以它为底,向A的方向作一个正四面体

因为间中不共面4点在同一正四面体的面上

所以点A一定不在上述最小的三角形内

所以不论B、C、D在哪里,BC、CD、CB都小于等于AB

不懂再问,这本人自己做的.鄙人不是老师