x、y、z都为实数,x+y+2z=1,设t=x方+y方+2倍的z方,当t=0.5时,求z的取值范围.
3个回答

可以得到几个方程 x+y+2z=1 ①

x2+y2+2z2=0.5 ②

带入 x=1-y-2z 于②中

得 2y2+(4z-2)y+6z2-4z+0.5=0

y为实数,故方程有解,

看成是关于y的一元二次方程利用

△≥0

2z2-z≤0

0≤ z≤0.5

同理整理出x和z的方程,看成关于x的一元二次方程,再求解出z的范围,

也是 0≤ z≤0.5

不难发现,本题中的x与y具有互换性,所以结果一致,一般情况下两次的结果不一样,必须计算两次

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还有一个简单的方法,利用不等式

x+y=1-2z ①

x2+y2+=0.5-2z2 ②

有 ①2 ≤2②2 （2xy≤ x2+y2）

直接有 （1-2z）2≤1-4z2

也是 0≤ z≤0.5

要观察题目的特点,若②变成 3x2+y2 就不好用 不等式了

边打字边计算,累死我了

㎡

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