2005年全国卷数学一道题目三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c,成等比数列,cosB=
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2/√7或者8/√7.
由已知得,b^2 = ac,而根据余弦定理得,b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB
代入cosB = 3/4和b^2 = ac,得到ac = a^2 + c^2 - 3ac/2
即(2a - c)(a - 2c) = 0.得到a = 2c或者c/2.
(1)当a = 2c时,不妨设a = 2,c = 1,则b = √2.
根据余弦定理得到,cosA = -1/(2*√2),
则sinA = √7/(2*√2),cotA = -1/√7.
由于cosB = 3/4,所以,sinB = √7/4,cotB = 3/√7.
此时cotA + cotB = 2/√7.
(2)当a = c/2时,不妨设a = 1,c = 2,则b = √2.
同理得到,cosA = 5/(4*√2),sinA = √7/(4*√2),
cotA = 5/√7.
另外,cotB = 3/√7.
此时cotA + cotB = 8/√7.
所以,cotA + cotB的值为2/√7或者8/√7.
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