已知函数f（x）=x- 2 x -3lnx+1
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（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f ′ (x)=1+
2
x 2 -
3
x =
x 2 -3x+2
x 2 =
(x-1)(x-2)
x 2 ．
∴当x∈（0，1）时，f ′（x）＞0，f（x）为增函数．
当x∈（1，2）时，f ′（x）＜0，f（x）为减函数．
当x∈（2，+∞）时，f ′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的增区间为（0，1）（2，+∞），
减区间为（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e 2）内，当x=2时，f（x）取得极小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2， f( e 2 )= e 2 -
2
e 2 -5 ．
∵f（2）＜f（1）＜f（e 2），
∴f（x）在区间（1，e 2）上的值域为 [2-3ln2， e 2 -
2
e 2 -5] ；
（Ⅲ）由 f(x)=x-
2
x -3lnx+1 及 g(x)=7f(x)+m-
16
x -4x ，
得 g(x)=3(x-
10
x -7lnx)+7+m ．
∴ g ′ (x)=3(1+
10
x 2 -
7
x )=
3
x 2 ( x 2 -7x+10) =
3
x 2 (x-2)(x-5) ，x∈[1，4]
当x∈[1，2）时，g ′（x）＞0，g（x）在[1，2）上单调递增；
当x∈（2，4]时，g ′（x）＜0，g（x）在（2，4]上单调递减．
则g（x）在[1，4]上有最大值g（x） max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴实数m的值为5+2ln2．
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