函数在f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续,求f(0)及f'(0)
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用罗必塔法则
f(0)=lim(1/x)-1/(e^x-1)=lim[e^x-1-x]/[x(e^x-1)]=lim[e^x-1]/[e^x-1+xe^x]
=lime^x/[e^x-0+e^x+xe^x]=lim1/[2+x]=1/2
f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/x=lim[(1/x)-1/(e^x-1)-1/2]/x
=lim[2(e^x-1-x)-x(e^x-1)]/[2x^2(e^x-1)]
=lim[2(e^x-1)-(e^x-1)-xe^x]/[4x(e^x-1)+2x^2e^x]
=lim[e^x-1-xe^x]/[4x(e^x-1)+2x^2e^x]
=lim[e^x-0-e^x-xe^x]/[4(e^x-1)+4xe^x+4xe^x+2x^2e^x]
=lim[-x]/[4-4e^(-x) +8x+2x^2]=lim[-1]/[0+4e^(-x)+8+4x]
=-1/12
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