在△ABC中,猜想T=sinA+sinB+sinC的最大值,并证明.
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∵sinA＋sinB＋sinC＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］＋2sin（C/2）cos（C/2）
＝2sin［（180°－C）/2］cos［（A－B）/2］＋2sin（C/2）cos（C/2）
＝2sin（90°－C/2）cos［（A－B）/2］＋2sin［（180°－A－B）/2］cos（C/2）
＝2cos（C/2）cos［（A－B）/2］＋2sin［90°－（A＋B）/2］cos（C/2）
＝2cos（C/2）｛cos［（A－B）/2］＋cos［（A＋B）/2］｝
＝4cos（C/2）cos｛［（A－B）/2＋（A＋B）/2］/2｝cos｛［（A－B）/2＋（A＋B）/2］/2｝
＝4cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）
显然,cos（C/2）、cos（A/2）、cos（B/2）都是正数,
∴cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）
≤｛［cos（C/2）］^3＋［cos（A/2）］^3＋［cos（C/2）］^3｝/3
当cos（C/2）＝cos（A/2）＝cos（B/2）时,cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）有最大值.
由cos（C/2）＝cos（A/2）＝cos（B/2）得：A＝B＝C＝60°,
∴此时｛［cos（C/2）］^3＋［cos（A/2）］^3＋［cos（C/2）］^3｝/3
＝（cos30°）^3＝（√3/2）^2＝3√3/8.
∴cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）的最大值是3√3/8.
得：4cos（C/2）cos（A/2）cos（B/2）的最大值是3√3/2.
即：sinA＋sinB＋sinC的最大值是3√3/2.
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