已知函数f（x）=2 x （1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；（2）若存在x∈（-
1个回答

（1） F(x ) max =

1+a，a＞-

1

2

1

4a ，a≤-

1

2

（2）令2 x=t，则存在t∈（0，1）使得|t 2-at|＞1

所以存在t∈（0，1）使得t 2-at＞1或t 2-at＜-1

即存在t∈（0，1）使得 a＜(t-

1

t ) max 或a＞(t+

1

t ) min

∴a＜0或a≥2；

（3）由f（x+1）≤f[（2x+a） 2]得x+1≤（2x+a） 2恒成立

因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为

x+1 ≤2x+a 恒成立

∴ a≥(-2x+

x+1 ) max

设m（x）= -2x+

x+1 令

x+1 =t，则x= t 2 -1，t∈[1，4]

∴ m(t)=-2( t 2 -1)+t=-2(t-

1

4 ) 2 +

17

8

所以，当t=1时，m（x） max=1∴a≥1

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