已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式:1≤f(x)+f(x-1)≤2;(2)若a>0,求证:f(ax)-af(x
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解题思路:(1)利用绝对值不等式的性质可得f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|≥1,故只须解不等式f(x)+f(x-1)≤2即可,通过对x分x≤1,1<x≤2,x>2三类讨论,去掉绝对值符号,解之即可;

(2)当a>0时,求得f(ax)-af(x)=|ax-1|-|a-ax|,利用绝对值不等式的性质可得|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=f(a),从而可证结论.

(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1.

因此只须解不等式f(x)+f(x-1)≤2.…(2分)

当x≤1时,原不式等价于-2x+3≤2,即[1/2]≤x≤1.

当1<x≤2时,原不式等价于1≤2,即1<x≤2.

当x>2时,原不式等价于2x-3≤2,即2<x≤[5/2].

综上,原不等式的解集为{x|[1/2]≤x≤[5/2]}.…(5分)

(2)由题f(ax)-af(x)=|ax-1|-a|x-1|.

当a>0时,f(ax)-af(x)

=|ax-1|-|ax-a|

=|ax-1|-|a-ax|

≤|ax-1+a-ax|

=|a-1|

=f(a).…(10分)

点评:

本题考点: 绝对值不等式的解法.

考点点评: 本题考查:绝对值不等式的解法,掌握双绝对值不等式的性质,通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键,考查转化思想与分类讨论思想的综合应用,属于中档题.