如图所示:m个实数a1,a2,…,am,(m≥3,m∈N)依次按顺时针方向围成一个圆圈.
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解题思路:(1)an+1=an+2n,可得an+1-an=2n,累加可得an=2n-1,即可求出a1+a2+…+am的值;

(2)由aq=λap+(1-λ)ai(λ>0),得λ(ap-aq)=(1-λ)(ai-aq),当λ=1时,a1=a2=…=am成立.当λ≠1时,ai-aq=[λ/1−λ](aq-ap),由此利用分类讨论思想能够证明a1=a2=…=am

(1)∵an+1=an+2n,∴an+1-an=2n

累加可得an=2n-1,

当m=2014时,a1+a2+…+am=(2+4+…+22014)-2014=22015-2016;

(2)证明:∵aq=λap+(1-λ)ai(λ>0),

∴λ(ap-aq)=(1-λ)(ai-aq),

当λ=1时,a1=a2=…=am成立.

当λ≠1时,ai-aq=[λ/1−λ](aq-ap),

则数列{an-an-1}(2≤n≤m)是等比数列,于是:

am-am-1=(a2-a1)([λ/1−λ])m-2

又a1-am=[λ/1−λ](am-am-1),a2-a1=[λ/1−λ](a1-am),

∴a2-a1=([λ/1−λ])m(a2-a1),

所以[λ/1−λ]=1,或a2-a1=0.

若a2-a1=0,则a1=a2=…=am

若[λ/1−λ]=1,则λ=[1/2],

此时数列{an}(1≤n≤m)为等差数列,设公差为d,

则am=a1+(m-1)d,am-1=a1+(m-2)d,

又am=

am−1+a1

2,∴d=0,

∴a1=a2=…=am

综上所述:a1=a2=…=am

点评:

本题考点: 数列的应用.

考点点评: 本题考查累加法求数列的通项,考查推理谁能力和计算应用能力,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.