解题思路：（1）先求函数
f(x)＝−
1
3
x
3
+a
x
2
−2ax−2
的导函数f'（x），再将“f（x）在[1，2]上单调递减”等价转化为f'（x）≤0在[1，2]恒成立问题，最后将恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得实数a的取值范围
（2）由（1）得a=2，先将“方程f（x）=x2-7x-m有3个不同的根”，转化为
x
3
3
−
x
2
−3x+2−m＝0
有3个不同根，再转化为函数
g(x)＝
x
3
3
−
x
2
−3x+2−m
有三个零点问题，然后利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，利用函数性质列关于m的不等式，即可解得m的范围
（1）依题意得：f'（x）=-x2+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上单调递减
∴f'（x）=-x2+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立
即：当x=1时，a∈R当x≠1时，2a≤
x2
x−1在（1，2]恒成立
记g(x)＝
x2
x−1＝x−1+
1
x−1+2则gmin（x）=4
∴只须a≤2
综上，a≤2
（2）当a=2时，方程f（x）=x2-7x-m有3个不同根等价于
x3
3−x2−3x+2−m＝0有3个不同根
记g(x)＝
x3
3−x2−3x+2−m则g'（x）=x2-2x-3
令g'（x）＞0得x＜-1或x＞3令g'（x）＜0得-1＜x＜3
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减
∴g极小（x）=g（3）=-7-mg极大(x)＝g(−1)＝
11
3−m
要使
x3
3−x2−3x+2−m＝0有3个不同根
只须
g极小(x)＝g(3)＝−7−m＜0
g极大(x)＝g(−1)＝
11
3−m＞0
得−7＜m＜
11
3
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题综合考察了导数在函数单调性中的应用，导数在函数零点存在性和零点个数中的应用，不等式恒成立问题的解决方法
