已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3•2n，n∈N*．
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解题思路：（1）利用等比数列的定义进行证明；
（2）可以先假设存在某连续三项，根据等差中项的定义式列出方程化简，在正整数范围内有解则存在，否则不存在；
（3）根据等差中项的定义列出a1，ar，as的关系式，化简即可得到r，s的关系式．
（1）由a1=3，an+1+an=3•2n，n∈N*．得：
an+1−2n+1＝−(an−2n)，
所以数列{an−2n}是以a1-2=1为首项，公比为-1的等比数列，
∴an−2n=（-1）n-1，所以an＝2n+(−1)n−1；
（2）假设存在连续三项an-1，an，an+1成等差数列，则由已知得：
2（2n+（-1）n-1）=2n-1+（-1）n-2+2n+1+（-1）n，（n≥2）
化简得2n-1=22×（-1）n-1，显然当n=3上式成立，
所以存在数列{an}中的第二、三、四项构成等差数列；
（3）由1＜r＜s且r，s∈N*，结合通项可知a1＜ar＜as，
由a1，ar，as成等差数列，可得2ar=a1+as，
即2•2r+2（-1）r-1=3+2s+（-1）s-1，整理得2r+1-2s=3-2（-1）r-1+（-1）s-1，
因为1＜r＜s且r，s∈N*，所以2r+1-2s的可能取值为0，8，…，而3-2（-1）r-1+（-1）s-1∈[0，6]，
∴2r+1-2s=0，
∴s=r+1（r≥2，r∈N）．
点评：
本题考点： 等比数列的性质．
考点点评： 本题突出考查了等差数列及等差中项的基本概念、通项和性质，体现了化归思想．其中第二问的类型一般先假设存在，然后根据题意列方程或不等式，只要有符合题意的解即说明存在，否则不存在．
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