解题思路：（I）由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，知x=0是f（x）的一个极值点，从而可得结论；
（II）确定A，B为f（x）的极值点，利用函数f（x）在区间[m，n]上存在零点，根据零点存在定理，即可求实数b的取值范围；
（III）先确定-6≤b≤-3，再假设存在点M（x0，y0）使得f（x）在M处切线斜率为2b，则f'（x0）=2b，由此可得结论．
（Ⅰ）f'（x）=3x2+2bx+c，…（1分）
由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）
∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x2+2bx=0，∴x1＝0，x2＝−
2
3b(b＜0)．…（4分）
∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，
∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）
则m＝0，n＝−
2
3b(b＜0)．…（6分）
又f(0)＝−b，f(−
2
3b)＝
4
27b3−b
若f（x）在[0，−
2
3b]上存在零点．
∵f（0）=-b＞0，
则f(−
2
3b)＝
4
27b3−b≤0．…（7分）
∵b＜0，∴[4/27b2≥1，b2≥
27
4]，∴b≤−
3
3
2．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，
得x1＝0，x2＝−
2
3b(b＜0)．
∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）
∴2≤−
2
3b≤4，
即-6≤b≤-3．…（10分）
假设存在点M（x0，y0）使得f（x）在M处切线斜率为2b，
则f'（x0）=2b，即3x20+2bx0-2b=0，…（11分）
△=4b2+24b=4（b2+6b）=4（b+3）2-3b，
∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）
当b=-6时，△=0，
由3x02−12x0+12＝0得x0＝2，
故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
