解题思路：（1）过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB=a，根据∠A的正切值表示出AB=2a，再表示出OE=2a-3，在Rt△POB中，利用勾股定理列方程求出a，然后在Rt△ABP中，利用勾股定理列式计算即可求出AP；
（2）连接OP、OQ，根据等边对等角可得∠P=∠POQ=∠A，求出△AOP和△PQO相似，利用相似三角形对应边成比例列式整理即可得到y与x的关系式，根据直径是圆的最长的弦写出x的取值范围；
（3）过点O作OC⊥AP于C，根据∠A的正切值，设OC=4b，则AC=3b，在Rt△AOC中，利用勾股定理列方程求出b，从而得到OC、AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得PC=AC，设⊙Q的半径为c，然后表示出CQ，在Rt△COQ中，利用勾股定理列方程求出c，设⊙M的半径为r，根据圆与圆的位置关系表示出MQ、MO然后利用勾股定理列方程求解即可得到r的值，从而得解．
（1）如图1，过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB=a，
∵tanA=[1/2]，
∴AB=2a，
∴OB=AB-OA=2a-3，
在Rt△POB中，PB2+OB2=OP2，
即a2+（2a-3）2=32，
解得a1=[12/5]，a2=0（舍去），
∴AB=2×[12/5]=[24/5]，
在Rt△ABP中，AP=
PB2+AB2=
(
12
5)2+(
24
5)2=
12
5
5；
（2）连接OP、OQ，则AO=PO，PQ=OQ，
∴∠P=∠A，∠POQ=∠P，
∴∠P=∠POQ=∠A，
∴△AOP∽△PQO，
∴[QP/OP]=[OP/AP]，
即[y/3]=[3/x]，
整理得，y=[9/x]，
∵⊙O的半径为3，点P不同于点A，
∴3＜x≤6；
∴y=[9/x]（3＜x≤6）；
（3）过点O作OC⊥AP于C，
∵tanA=[4/3]，
∴设OC=4b，AC=3b，
在Rt△AOC中，OC2+AC2=OA2，
即（4b）2+（3b）2=32，
解得b=[3/5]，
∴OC=4×[3/5]=
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题考查了圆的综合题型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，同一个圆的半径相等，等边对等角的性质，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，难点在于反复利用勾股定理列出方程求解．
