过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点,求使:
(1)△AOB面积最小时l的方程;
(2)|PA||PB|最小时l的方程.
解题思路:设出直线的截距式方程,利用直线经过点(2,1),得到关系式,
(1)通过基本不等式求出ab的最小值,然后求解△AOB面积最小时l的方程;
(2)利用推出的关系式,通过距离公式化简|PA||PB|,利用基本不等式求出最小值时a,b的值,然后求出l的方程.
设直线的方程为[x/a+
y
b=1(a>2,b>1),
∵直线l过点P(2,1),
∴
2
a+
1
b=1.
(1)∵2
2
a•
1
b]≤[2/a+
1
b]=1,
∴ab≥8.∴S△AOB=[1/2]ab≥[1/2×8=4.
当且仅当
2
a=
1
b]=[1/2],即a=4,b=2时,S△AOB取最小值4,
此时直线l的方程为[x/4+
y
2=1,即x+2y-4=0.
(2)由
2
a+
1
b]=1,得ab-a-2b=0,
变形得(a-2)(b-1)=2,
|PA||PB|=
(2−a)2+(1−0)2•
(2−0)2+(1−b)2=
[(a−2)2+1]
点评:
本题考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式;直线的截距式方程;直线的一般式方程.
考点点评: 本题考查直线方程的应用,基本不等式求解最值问题,考查转化思想以及计算能力.
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