过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点,求使:
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解题思路:设出直线的截距式方程,利用直线经过点(2,1),得到关系式,

(1)通过基本不等式求出ab的最小值,然后求解△AOB面积最小时l的方程;

(2)利用推出的关系式,通过距离公式化简|PA||PB|,利用基本不等式求出最小值时a,b的值,然后求出l的方程.

设直线的方程为[x/a+

y

b=1(a>2,b>1),

∵直线l过点P(2,1),

2

a+

1

b=1.

(1)∵2

2

a•

1

b]≤[2/a+

1

b]=1,

∴ab≥8.∴S△AOB=[1/2]ab≥[1/2×8=4.

当且仅当

2

a=

1

b]=[1/2],即a=4,b=2时,S△AOB取最小值4,

此时直线l的方程为[x/4+

y

2=1,即x+2y-4=0.

(2)由

2

a+

1

b]=1,得ab-a-2b=0,

变形得(a-2)(b-1)=2,

|PA||PB|=

(2−a)2+(1−0)2•

(2−0)2+(1−b)2=

[(a−2)2+1]

点评:

本题考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式;直线的截距式方程;直线的一般式方程.

考点点评: 本题考查直线方程的应用,基本不等式求解最值问题,考查转化思想以及计算能力.

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