已知数列{a n }的前n项和为S n ，且对任意n∈N * 有a n +S n =n.
1个回答
（1）证明见解析（2）c n= (
) n
（1）证明 由a 1+S 1=1及a 1=S 1得a 1=
.
又由a n+S n=n及a n+1+S n+1=n+1得
a n+1-a n+a n+1=1,∴2a n+1=a n+1.
∴2(a n+1-1)=a n-1,即2b n+1=b n.
∴数列{b n}是以b 1=a 1-1=-
为首项，
为公比的等比数列. 6分
（2）解 方法一 由（1）知2a n+1=a n+1.
∴2a n=a n-1+1 (n≥2), 8分
∴2a n+1-2a n=a n-a n-1,
∴2c n+1=c n(n≥2).
又c 1=a 1=
,a 2+a 1+a 2=2,∴a 2=
.
∴c 2=
-
=
,即c 2=
c 1.
∴数列{c n}是首项为
，公比为
的等比数列. 12分
∴c n=
·(
) n-1=(
) n. 14分
方法二 由（1）b n=(-
)·(
) n-1=-(
) n.
∴a n=-(
) n+1.
∴c n=-(
)
+1-
=
-
=
=
（n≥2）. 12分
又c 1=a 1=
也适合上式，∴c n=
. 14分
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