数列{an}满足an＞0，Sn=[m/2]（an+[1an），其中m=∫π/60]2cosxdx．
1个回答
解题思路：（1）利用数列的赋值思想，由定积分得到m=1，则可以得到an＞0，Sn=[1/2]（an+
1
a
n
），借助于通项公式与前n项和关系求解前几项的和．
（2）猜想得到通项公式．运用数学归纳法加以证明即可．
（1）易得：m=1．∵an＞0，∴Sn＞0，
由S1=[1/2]（a1+[1
a1），变形整理得S12=1，取正根得S1=1．
由S2=
1/2]（a2+[1
a2），及a2=S2-S1=S1-1得S2=
1/2]（S2-1+[1
S2−1），
变形整理得S22=2，取正根得S2=
2，
同理可求得S3=
3．由此猜想Sn=
n．…（5分）
（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，上面已求出S1=1，结论成立．…（7分）
②假设当n=k时，结论成立，即Sk=
k．
则n=k+1时，Sk+1=
1/2]（ak+1+[1
ak+1）=
1/2]（Sk+1-Sk+[1
Sk+1−Sk）=
1/2]（Sk+1-
k+
1
Sk+1−
k）．
整理得Sk+12=k+1，取正根得Sk+1=
k+1．
故当n=k+1时，结论成立．…（12分）
由①、②可知，对一切n∈N+，Sn=
n都成立．…（13分）
点评：
本题考点： 数学归纳法．
考点点评： 本题考查赋值思想，归纳推理以及数学归纳法的证明方法，考查分析问题解决问题的能力．
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