(本题满分20分)设直线 l 1 : y = k 1 x +1, l 2 : y = k 2 x -1,其中实数 k 1
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(Ⅰ)反证法:假设 l 1与 l 2不相交,则 l 1与 l 2平行,有 k 1= k 2,代入 k 1k 2+1=0,得

+2=1.此与 k 1为实数的事实相矛盾,从而 k 1≠ k 2,即 l 1与 l 2相交。(Ⅱ)由(Ⅰ)知

由方程组

解得交点 P 的坐标( x , y )为

,而 x 2+ y 2 2 2

=1.即 l 1与 l 2的交点到原点距离为1

(Ⅲ)

试题分析:(Ⅰ)反证法:假设 l 1与 l 2不相交,则 l 1与 l 2平行,有 k 1= k 2,代入 k 1k 2+1=0,得

+2=1.此与 k 1为实数的事实相矛盾,从而 k 1≠ k 2,即 l 1与 l 2相交。

(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知

由方程组

解得交点 P 的坐标( x , y )为

而 x 2+ y 2 2 2

=1.

即 l 1与 l 2的交点到原点距离为1

方法二:交点 P 的坐标( x , y )满足

故知 x ≠0,从而

代入 k 1k 2+1=0,得

+1=0.整理后,得 x 2+ y 2=1得证。

(Ⅲ)方法一:

方法二:

为矩形,

当且仅当

时取“=”

点评:关于两条直线位置关系的问题,常常单独出现在选择题和填空题中,或作为综合题的一部分出现在解答题中,主要考查以下三种:一、判断两条直线平行和垂直;二、求点到直线的距离、平行线间的距离;三、求直线的交点或夹角及利用它们求参数等