一个多面体如图,ABCD是边长为a的正方形,AB=FB,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,G,H分别为AE,CE中点.
1个回答
答：
（1）这是7面体：ABCD、ADE、AEF、CDE、CEF、ABF、BCF.
（2）△ACE中,点G是AE的中点,点H是CE的中点.
所以：GH是△ACE的中位线
所以：GH//AC
因为：AC在平面ACF上
所以：GH//平面ACF
（3）连接正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,连接EO和FO.
因为：正方形对角线互相垂直平分
所以：AC⊥BD…………………………（a）
因为：FB⊥平面ABCD
所以：FB⊥AC…………………………（b）
由（a）和（b）知道：
AC⊥平面BOEF
又因为AC是平面ACE和平面ACF的公共边.
所以：∠EOF即是平面ACE和平面ACF的夹角.
因为：平面ACE⊥平面ACF
所以：∠EOF=90°,∠EOD+∠FOB=180°-∠EOF=90°……（c）
FB⊥平面ABCD,ED//FB
所以：ED⊥平面ABCD
所以：在直角梯形BDEF中ED//BF
边长为a的正方形ABCD的对角线BD=√2a,BO=DO=BD/2=√2a/2；FB=AB=a.
RT△FBO和RT△ODE中：
由（c）知道∠EOD+∠FOB=∠EOD+∠OED=90°
所以：∠FOB=∠OED
因为：∠FBO=∠ODE=90°
所以：RT△FBO∽RT△ODE
所以：FB/OD=BO/DE
所以：a/(√2a/2)=(√2a/2)/DE
所以：DE=a/2
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